Aritmética modular en billetes de euros

La aritmética módulo 9 ha sido utilizada en la verificación de operaciones siendo llamada prueba del nueve, en inglés, casting out nines. En el DLE, ésta aparece definida como «Cálculo sencillo que sirve para verificar el resultado de las operaciones aritméticas, especialmente en la multiplicación y en la división, fundado en que el resto de dividir un número por nueve es el mismo que el de dividir también por nueve la suma de sus cifras.» También es llamada reducción a una cifra, dado que la reiterada suma de las cifras hasta que quede una sola es la descripción algorítmica del cálculo del resto de dividir por 9 un número dado. Al trasladar, vía esa “reducción”, un problema a otro en una aritmética mucho más simple, se obtiene un verificación sencilla … que no detecta todos los errores.

Por ejemplo si hacemos la multiplicación de 21 por 38 y obtenemos 798, la comprobación mediante la “prueba del nueve” sería: 21 ≡ 2 + 1 ≡ 3 (mod 9), 38 ≡ 3 + 8 ≡ 11 ≡ 2 (mod 9), 3 x 2 ≡ 6 (mod 9) y como  798 ≡ 7 + 9 + 8 ≡ 24 ≡ 2 + 4 ≡ 6 (mod 9), ¡¡correcto!! Claro que la verificación también diría correcto si el resultado de la multiplicación hubiese sido 708, 807 o 816. Por ello la segunda acepción de prueba del nueve en el DLE, «prueba clara que confirma la verdad o falsedad de una cuestión debatida», es como mínimo equívoca.

Esta aritmética modulo 9 se emplea en los billetes de euros, pues cada billete lleva impreso dos letras y diez dígitos (en las primeras emisiones una letra y once dígitos)  que si se “reducen a una cifra” (las letras se convierte en el número de su orden lexicográfico más uno: A 2, B 3,…, V 23,…, Z 27) debe resultar 0. Eso es al menos un indicio de validez del billete, mientras la primera letra indica el país emisor, que en las monedas distinguimos por las figuras (la segunda letra indica la serie del billete). Las letras han sido asignadas a los países en orden inverso al del orden lexicográfica de sus nombres en su idioma original. Además de no usar I, O, Q (para evitar que se confundan con 1 y 0), como a Grecia le tocaba W, letra que no está en su alfa­beto, se intercambió con la que correspondería a Dinamarca, precisamente una “i griega”. Así quedaron asignadas: Z, Bélgica; Y, Grecia; X, Alemania; V, España; U, Francia; T, Irlanda; S, Italia; P, Países Bajos; N, Austria; M, Portu­gal; L, Finlandia [además están reservadas: W, Dinamarca; R, Luxemburgo; K, Suecia; J, Reino Unido]. Las últimas incorporaciones (entre 2007 y 2015) tam­bién llevan asignada una letra: H, Eslovenia; G, Chipre; F, Malta; E, Eslova­quia; D, Estonia [y están reservadas C, Letonia y B, Lituania, faltando por asignar sólo la A].

Sorprende que en la explicación de la falsedad de un billete se olviden del dato numéri­co. Por ejemplo la OCN, Oficina Central [peruana] de lucha contra la falsifica­ción de Numerario, explica con todo detalle la falsedad de un billete de 20 € presuntamente emitido en España. Pero la verificación del número del billete, que es más elemental y proporcionaría la primera pista sobre su falsedad, no es mencionada.

Es corriente encontrar cajeros que suministran billetes de 10 € consecuti­vos, si nos fijamos en el numero del billete sin tener en cuenta el dígito de control. Eso se ejemplifica en un video que presenta un fajo de billetes donde insisten que son consecutivos si no se tiene en cuenta el último dígito. Pero los billetes de euro de un país no pueden llevar números consecutivos, sino con diferencia 9 o 18. En efecto, si su numeración es letras num d, y llamando suma nºorden (letras) + cifras (num) (mod 9), el dígito de control d debe cumplir que suma + d ≣ 0 (mod 9), teniendo en cuenta además que el resto 0 se representa por un 9. Ello proporciona una primera regla de falsedad: el número de un billete de euros NO puede terminar en 0. Para un billete con un número que, salvo el dígito de control, se “reduzca” a suma, el siguiente billete será el suma + 1 con dígito de control d – 1. Así al VA0000000002 le sigue el VA0000000011, a este el VA0000000029 (la clase de resto 0 se representa por un 9), el VA0000000038, VA0000000047, …

Sí puede haber números consecutivos de billetes si son de países distintos, pues para un billete con letra1 letra2 num dtal que suma + d ≣ 0 (mod 9), también es válido uno numerado anterior(letra1) letra2  num (d + 1), pues (suma – 1) + (d + 1) ≣ 0 (mod 9). Por ejemplo, V00000000013 y U00000000014 son dos números de billete de euro válidos, emitidos por España y Francia respectivamente. Incluso en los billetes con dos letras, puede haber billetes de un país con números consecutivos pero de series distintas: VB000000001 y VA000000002 son números de billete de euro válidos, emitidos por España.

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