Aritmética de la semana

Al conmemorar los 40 años del 23-F se resaltó que habían transcurrido «más de 14.600 días», pero tardaron en concretar el día de la semana en el que había sucedido. Si tenemos en cuenta de que habían transcurrido 14.610 días (40 · 365 mas 10, por los años bisies­tos en ese pe­riodo), se puede calcular fácilmente el día semanal. Como ese día en éste año 2021 fue mar­tes y 14.610 ≣ 1 (mod 7), en 1981 fue un lunes. Ese pequeño cálculo de arit­mética modular con base 7 nos permite que po­damos cono­cer el día de la semana en el que hemos nacido. Basta con calcular el núme­ro de días desde la fecha de nacimiento al del cumpleaños de este año (con­tando también los 29 de febrero que hubo en ese período), hallar el resto de dividir por 7 ese nú­mero de días y restárselo al día se­manal de este año, en la forma “módulo 7”. Vamos, contar el día semanal -3 desde un viernes nos da mar­tes, de sexta-feira retrocedemos a terça-feira.

«La semana es el único ritmo principal de la actividad humana que es totalmente independien­te de la naturaleza y se basa sólo en la regularidad matemática. Su invención fue uno de los prime­ros intentos humanos por romper los ritmos de la naturaleza y crear un mundo artificial propio. Pue­de verse como una de las mayores hazañas de la historia de la civilización humana.» [Eviatar Zerubavel The Seven Day Circle. The History and Meaning of the Week (1985) The University of Chica­go Press]

Este instrumento de regulación temporal, prácticamente universal, ha construido referencias ligadas al cálculo arit­mético “circular” que incluye la sucesión de los nombres de los días de la semana.

La secuencia de los días de la semana surge de la ordenación de los siete planasthai “los errantes cuerpos celestes” que aparentemente orbitan en torno a la Tierra. El ciclo de siete días que aportó la cultura judía (segura­mente aprendido en Babilonia) se ajustaba mejor al ritmo de los mercados que otros, como el de nueve días. En el Almagesto, escrito por el «primer cartógrafo mo­derno del mundo» Claudio Ptolomeo (90-170), se muestra la Tierra estable en el centro del cosmos «mientras que a su alrededor giraban diariamente –en or­den de proximidad– la Luna, Mercurio, Venus, el Sol, Marte, Júpiter y Saturno.» En los siglos I y II de nuestra era se divide el día en 24 horas, cada hora dedicada a uno de los “planetas”, llevando el día el nombre del planeta que correspondiese a la primera hora. De ahí se derivó la suce­sión de nombres de los días de la semana. En efecto la lista de 24 horas recorre los siete nombres tres veces y, puesto que 24 ≣ 3 (mod 7), con tres pasos más se obtiene el planeta que rige la primera hora del día siguiente, que le dará su nombre semanal. Así, saltando de tres en tres, tene­mos esos nombres tan familia­res que al obispo Martiño de Dumio nada le gustaban por ser de dio­ses paganos, aunque, como escribió Mendez Ferrín «non se decata, infeliz, de que el leva, como Marti­nus, o mesmo nome de Marte que o día Martes.» Pero le hicieron caso los portu­gueses, que nom­bran los días semanales como “feiras” numera­das y así llaman Sex­ta-feira Santa al Viernes Santo; también, en la versión portuguesa de la novela de Daniel Defoe, Robinson Crusoé, el personaje Viernes aparece como «meu amigo Sexta-Feira.» El término sábado procede de la tradición judía del sabbath (que deriva del ver­bo sh-b-th, “cesar el trabajo”), mientras domingo procede de dies domini­ca, día del Señor, la traduc­ción de kyriaké en el Apoca­lipsis (1.10: “Caí en éx­tasis el día del Señor…”). La introducción oficial de la semana (en latín, septimāna) se debe al emperador Constantino, ya en el siglo IV, como tam­bién la adopción del descanso en domingo, abandonan­do el sábado (360 a. D). Tanto el cristia­nismo, el hinduis­mo como el islam, contribuyeron a la expan­sión mundial de este artefacto cultural.

“Puente” en diciembre

Las «fiestas laborales de ámbito nacional, de carácter retribuido y no recuperable», están reguladas por el Real Decreto 1346/1989, firmado por el entonces ministro Manuel Chaves González. Ahí se fijan dos días de diciembre como festivos no sustituibles por ser «a) De carácter cívico: 6 de diciembre, Día de la Constitución Española» y «c) En cumplimiento del artículo III del Acuerdo con la Santa Sede de 3 de enero de 1979: 8 de diciembre, Inmaculada Concepción.» En 1987, ese ministro había dispuesto que fuese el lunes 5 de diciembre el «descanso laboral correspondiente a la fiesta de la Inmaculada Concepción (8 de diciembre)» del año siguiente; pero no pudo mantener esa forma de evitar el puente perfecto de diciembre de 1988 y, en noviembre de ese mismo año, tuvo que publicar una rectificación sobre ese descanso laboral diciendo: «8 de diciembre, Inmaculada Concepción».

Todo eso provoca la obvia pregunta de que años van a tener en diciembre tal tipo de puente, o de otro modo, obtener alguna característica de los años cuyo 6/diciembre caiga en martes. E igualmente caracterizar los que tendrán en ese mes un fin de semana larguísimo, porque el día 6 cae en lunes o en miércoles.

La aritmética módulo 7 nos garantiza que el 6/diciembre cae en martes si el año termina en sábado (el 31 es sábado si lo es el 10, y así el 6 es martes) o lo que es equivalente: un año común que se inicia en sábado o un bisiesto que comienza en viernes. Cuando hemos caracterizado los años en los que el 25/julio cae en domingo, esto es, los Años Santos Compostelanos (ASC), resaltamos que todos ellos terminan un viernes. Luego los años comunes que siguen a un ASC o los años bisiestos que comienzan en viernes, son los años que van a tener en diciembre un puente perfecto. Así, ello ocurrirá en 2022, tras el ASC 2021, y en 2033, tras ASC 2032, como ya ocurrió en 2011, 2005 y 1994 (años siguientes a los ASC de 2010, 2004 y 1993); pero también pasará en el bisiesto 2044, como ya ocurrió en el bisiesto 2016.

La caracterización de los años que en diciembre tendrán un fin de semana larguísimo es análoga. Usaremos otra definición de los ASC, aquellos en los que el 6/diciembre cae en lunes, pues en ellos hay 134 días (19 semanas completas y un día) entre el domingo 25/julio y ese día de diciembre. Pero el 6/diciembre cae en miércoles cuando lo hace el 27/diciembre, lo cual a su vez corresponde a que el año termine en domingo. Esto ocurre en un año común que comienza en domingo o en un año bisiesto que empiece en sábado, esto es, un bisiesto que sigue a uno común iniciado en viernes, al cual hemos caracterizado como un ASC. Así, un año contiene en diciembre un “fin de semana larguísimo” si, y sólo si, (festivos lunes 6 y miércoles 8) es Año Santo Compostelano o (festivos miércoles 6 y viernes 8) es un año bisiesto que sigue a un Año Santo Compostelano o un año común que comienza en domingo. Sucedió ya en 2006, 2010 y 2017; volverá a ocurrir en 2021, 2023, 2027, 2028, …

Este año 2020, como el 6/diciembre cae en domingo, el puente alarga el fin de semana hasta el martes; por ello la Consellería de Educación estableció como el Día de la Enseñanza el lunes 7/diciembre, rellenando el “puente de la Constitución”. Veremos cómo gestiona en 2022 el puente perfecto y en 2023 el fin de semana larguísimo.

Aritmética modular de las fiestas movibles

Las fechas de nues­tras fiestas movibles depende de la fecha de la Pas­cua del año. Ésta viene definida como el domingo que sigue a la luna llena posterior al 20 de marzo (en el año 2021, 28/marzo) que no coincida con la Pésaj que celebran los ju­díos (por ello la Pascua, se desplazó al 4/abril). Esa fiesta sometida al calendario lunar, también determina nues­tras fiestas movibles. Un pequeño algoritmo, cuatro lineas en una hoja de cálcu­lo, nos permite calcu­lar esas fechas para cada año. Ese cómputo aritmético fue du­rante siglos un ejercicio numérico nada común, al que definitivamen­te puso fin Karl Frie­drich Gauss en 1800, al basar­lo en la aritmética modu­lar. La Pésaj (en ladino dicen Pesah) coincide siempre con luna llena, pues, en la noche en la que el pueblo judío salió de Egipto, la luz lunar les permi­tió evitar el uso de lámparas para no ser descubiertos por los soldados del faraón. Es la festividad de la primavera y comienza el día 15 del mes de Nisan, en la noche de luna llena después del equinoccio vernal.

     Para el cómputo de la Pascua se utilizaban tablas con datos como áureo número , epacta y letra domi­nical (en el DLE se leen sus definiciones). Pero la aritmética modular le facilitó a Gauss la creación de un algoritmo que en tres pasos determina esa fecha. El dato de inicio de ese cómputo es el número del año del cual quere­mos determinar cuando cae el domingo de Pascua. Utilizando las funcio­nes Mod[x; n], resto de dividir el número x entero por el n, y la Int[x], que pro­porciona la parte entera de un número, las ope­raciones a realizar son:

s = Int[año/100]       t = Int[3 · (s + 1)/4]

a = Mod [19 · Mod [año; 19] + t – Int[(8 · s + 13)/25] + 15; 30]

b = Mod [2 · Mod[año; 4] + 4 · (año + 1) + 6 · a + t ; 7]

c = 22 + a + b

d =If[ Or[ c = 57, And[ a = 28, b = 6, 10 < Mod[año; 19] ] ]; c – 7; c]

pascua = If[c < 32; d/marzo/año; (d – 31)/abril/año]

Por ejemplo, para el año 2021 las operaciones serían : s = 20, t = 15, Mod [2021; 19] = 7, Int [(8 · 20 + 13)/25] = 6, a = Mod [19 ·7 – 6; 30] = 7; Mod [2021; 4] = 1, b = Mod [2 + 4 · 2022 + 6 · 7 + 15 ; 7] = 6. De lo cual se sigue c = 35 = d ; luego, fue domingo de Pascua el día 4/abril/2021

En el caso del año 2008 la fecha de Pascua fue especialmente temprana: valen esos valores de s, de t  y de las operaciones en las que sólo ellos inter­vienen, pero como Mod [2008, 19] = 13, a = Mod [19 ·13 – 6; 30] = 1 y b = Mod[2 · Mod[2008; 4] + 4 ·2009+ 21; 7] = 0, el domingo de Pascua fue el 23/marzo/2008

Las fechas de las fiestas movibles son obtenidas directamente de la de Pascua: Martes de Antroido: 47 días antes; Viernes Santo: 2 días antes; As­censión: 39 días después; domingo de Pentecostés, un fin de semana largo en la mayoría de los países europeos y aquí la víspera de El Rocío, 49 días después; jueves de Corpus, 60 días después. El inicio de la Feria de Sevilla (llamada Feria de Abril, aunque pueda terminar en mayo) será: si la fecha de Pas­cua es anterior al 15/abril, se procederá al “alumbrao” 15 días después; si cae entre 16-21/abril, se hará 8 días después; en todo caso, para fe­chas de Pascua posteriores al 22/abril, la Feria se iniciará el 30/abril (como ocurrió en 2011).

Como curiosidad en 2008 el día siguiente de San José fue Jueves San­to (y lo será en 2160, 2228,..), e incluso, en 2285 (y en 2353, 2437, 2505, …), el pro­pio día 19/marzo será Jueves Santo. La Pascua de los cristianos ortodoxos se calcula del mismo modo pero sobre el calendario ju­liano, lo cual provoca fechas muy posteriores. Éste gráfico de las fechas de Pascua cató­lica, orto­doxa y judía en el intervalo de años 1996-2040 muestra esas diferen­cias.

Un ejemplo del desconocimiento del cálculo de la fecha pascual lo pro­porcionó nada menos que el predicador de la Casa Pontificia, Raniero Cantalamessa, en el sermon presi­dido por Benedicto XVI (la tarde del 2/abril/2010). Dijo: «Por una rara coincidencia este año nuestra Pascua cae en la misma semana que la Pascua hebraica, que es su antepasada y el mol­de dentro del cual se ha formado.» Precisamente lo raro es lo contrario, que estén separadas más, aunque tal vez su sermón lo tenía preparado para el año 2008 cuando la Pascua se celebró 28 días antes que la Pesaj (esa misma antela­ción ocurrirá en 2035). Pero en 2015, 2018, 2019, 2022, 2029, 2032, 2036, 2039 … la Pesaj es el día anterior de la fecha de Pascua.

Aritmética modular en la banca

  Desde hace 30 años las cuentas bancarias se identifican con 20 cifras, el Código Cuenta Cliente (CCC), que incluye dos dígitos de control obtenidos mediante aritmética modulo 11. Desde febrero de 2014, es obligatorio para esa identificación el IBAN, un código alfanumérico que se obtiene anteponiéndole las dos letras ES y dos dígitos de control, obtenidos a partir del número CCC mediante aritmética modulo 97. La digitalización de los procesos bancarios ha sorprendido a muchas entidades, que muestran desconocimiento de como son esas operaciones de cálculo de códigos y las limitaciones del cifrado. En un portal bancario se muestra completo el CCC salvo dos _* al final y también indican el IBAN de esa misma cuenta, con esos símbolos reemplazando los dos dígitos finales. Y la pregunta obvia, «¿queda así protegido el número de cuenta?», tiene un NO por respuesta y además su descifrado está al alcance de cualquiera que haya leído algo sobre aritmética modular.

   Veámoslo en un caso concreto: dan un CCC como 1491- 0001 – 26 – 30000010_** además de su IBAN en la forma ES88 1491 0001 2630 0000 10_** . El ejercicio es encontrar los dos dígitos, x e y, que ahí aparecen ocultados. Sabiendo que el segundo de los dígitos de control del CCC (6 en el ejemplo) se calcula módulo 11 a partir de los diez dígitos del “número de la cuenta”, obtendremos una ecuación que relaciona ambas incógnitas x e y. En efecto, debe ocurrir que

6 ≣ 10 ∙ 3 + 9∙ 0 + 7∙ 0 + 3∙ 0 + 6∙ 0 + 1∙ 0 + 2∙ 1 + 4∙ 0 + 8∙ x + 5∙ y (mod 11)

la cual se simplifica a 7 ≣ 8∙ x + 5∙ y (mod 11). Ésta ecuación lineal tiene sólo diez soluciones, el conjunto de pares:

{{5, 0}, {3, 1}, {1, 2}, {10, 3}, {8, 4}, {6, 5}, {4, 6}, {2, 7}, {0, 8}, {9, 9}}

Así quedan reducidas sólo a diez las posibles cuentas bancarias que describe ese CCC parcialmente oculto. Pero como nos dan el IBAN, con los mismos dígitos ocultos, éste nos proporciona otra ecuación, en éste caso módulo 97, que permitirá determinar cual de entre esos pares es la solución. Sabemos que los dígitos de control (88 en este ejemplo) verifican:

88 ≣ 98 – 149100012630000010 x y 142800 (mod 97)

La aparente dificultad de calcular para un número de 26 cifras el resto de dividir por 97 se trivializa usando su expresión algebraica en potencias de 10 y las propiedades de la aritmética modular. Así, dado que 3 ≣ 10² (mod 97), es 27 ≣ 10⁶ (mod 97) y también 81 ≣ 10⁸ (mod 97). Obteniendo con una hoja de cálculo los valores:

33 ≣ 149100012630000010 (mod 97)     16 ≣ 142800 (mod 97)

la ecuación se reduce a:  10 ≣ 33 ∙81 + (10∙ x + y)∙ 27 + 16 (mod 97), esto es,

84 ≣ 10∙ x + y (mod 97)

  Y de modo evidente la solución x = 8, y = 4 es la única que verifica ambas ecuaciones y determina canónicamente ese número de cuenta bancaria presuntamente ocultado.

Aritmética módulo 23

En su día se decretó que al número del DNI había que añadirle una letra para construir el NIF (número de identificación fiscal). En ese momento no fue explicado el algoritmo empleado para adjudicar la letra, pero hoy está expuesto en una «página de servicio al ciudadano» del Ministerio del Interior. Lo que ahí se detalla es que, de la específica lista de letras T R W A G M Y F P D X B N J Z S Q V H L C K E, hay que escoger la que está en el puesto que corresponde a la clase de restos módulo 23 del DNI más 1. Aparentemente, el número primo 23 surge de suprimir, de las letras del castellano, aquellas que podrían confundirse con 0 (la O), con 1 (la I), con V (la U) o con N (la Ñ). La codificación NIF permite detectar, no sólo errores simples, sino trasposiciones de cifras, que eran “erratas” muy frecuentes en facturas que incluían el DNI de la persona emisora.

Mucho menos conocido es que el Ministerio de Hacienda, en el registro del Catastro Inmobiliario, emplea también esa aritmética módulo 23 para asignar las dos letras de control en el código de 20 caracteres de las referencias catastrales. En este caso el cómputo es ligeramente más complejo, pues el valor numérico de cada carácter alfanuméri­co (para las letras, su orden lexicográfico), está multiplicado por una potencia de 7. En concreto, los valores correspondientes a los cuatro caracteres anteriores a las dos últi­mos (que son las letras de control), se multiplican respectivamente por 21, 3, 7 y 1, siem­pre en arit­mética Z₂₃, obteniendo un valor a. Los siete primeros valores del código (lo mismo que los siete siguientes valores) son multiplicados respectivamente por las potencias déci­ma a cuarta de 7 obteniendo un valor b (resp. c). Se determina que la primera letra de control será el carácter (a + b + 1)-ésimo (resp. la segunda letra de con­trol el carácter (a + c + 1)-ésimo) de una lista fijada como M Q W E R T Y U I O P A S D F G H J K L B Z X. Aparte de ser una permutación de letras diferente a la del NIF, en este caso si han incluido la I, la O y la U, pero han excluido la C, la N y la Ñ. Al igual que en el NIF, las letras de control de­tectan errores simples y trasposiciones. Precisamente, en la página de la Dirección Gene­ral del Catastro donde se explica la referencia catastral, el ejemplo del caso de la rústica, tiene in­correctamente asignadas las letras de control. En efecto, para la referencia «13 077 A 018 00039 0000 FP», el valor de a es 0 mientras b = 0 y c = 13, con lo cual las letras asig­nadas son MS. Realizando una consulta con esos datos, se obtiene una referencia correc­ta a una finca rural de Santa Cruz de Mudela (Ciudad Real).

El uso de la aritmética módulo 11

En un mundo globalizado, la necesidad de estándares para caracterizar e iden­tificar productos ha traído a la vida diaria el empleo de la aritmética modular. Tanto los códigos de libros, como de cuentas bancarios y de contenedores, em­plean la aritmética módulo 11 para calcular sus dígitos de control de errores.

El código ISBN (International Standard Book Number), que hoy lleva cada publi­cación, fue diseñado en 1966 como identificador único que permitiese acceder a ella desde cualquier parte del mundo, convirtiéndose en un estándar en 1970 (y reformado en 2007, para poder ser representado como código de barras). A los 9 primeros dígitos x₁ x₂ x₃ x₄ x₅ x₆ x₇ x₈ x₉, que codifican el país (o lengua de origen), el editor y el número del artículo, se añade un dígito de control d que se calcula:

x₁+2•x₂+3•x₃+4•x₄+5•x₅+6•x₆+7•x₇ +8•x₈+9•x₉ ≡ d (mod 11)

Si conocemos que un número en base 10 tiene por resto módulo 11 la diferencia de la suma de sus dígitos en posición impar de la suma de los que están en posi­ción par, podemos hacer ese cómputo con aritmética elemental. Por ejemplo para el código 0-306-40615 su dígito de control es d ≡ 1•0+2•3+3•0+4•6+5•4+ 6•0+ 7•6+ 8•1+9•5 ≡ 6+ 2-2-2+8+1 ≡ 2 (mod 11). Cuando el resto es 10, se emplea la letra X como dígito de control, lo cual representó un problema para el tratamien­to informático del código (pues precisaba un campo alfanumérico). Cuando comenzó el uso de los códigos de barras, el ISBN se convirtió en ISBN-13, prece­diéndolo por 978 y empleando el cálculo del dígito de control del EAN-13 (que, como usa aritmética módulo 10, proporciona siempre un dígito).

Desde 1989, las cuentas bancarias en España se identificaban por el Código Cuenta Cliente (CCC), recomendado por el Consejo Superior Bancario y la CECA (Confederación Española de Cajas de Ahorro). El código está formado por 4 cifras que identifican la entidad, 4 para la sucursal, dos rotuladas D.C. (dígitos de control) y 10 para el número de cuenta. Los dígitos de control (el primero verifica los 8 dígitos entidad-sucursal y el segundo los 10 de la cuenta) son el resultado módulo 11 del producto escalar de cada uno de los vectores de dígitos por un vector de pesos, que es la progresión geométrica de razón 2 que comienza en 7 y en 10, respectivamente. A causa de esa definición, los campos deben ser completados siempre con ceros a la izquierda. Además, si el dígito de control vale 10 se substi­tuirá por 1, lo cual es un error de diseño que disminuye la eficacia del código. Otro fallo de diseño es que, si se intercambia el segundo dígito de control y el pri­mer dígito del número de cuenta, resulta también un código válido (otra de las trasposiciones de dígitos que no detecta el protocolo CCC).

En febrero del 2014, se convirtió en obligatorio el International Bank Account Number, el cual, según la norma ISO 13616 de 1997, consiste en anteponer infor­mación adicional al formato de número de la cuenta de cada país. En el caso de de España, se anteponen al CCC, las dos letras que codifican el país, ES, y dos dígitos de control que se calculan con un algoritmo mínimo. En el caso de España los dos dígitos de control del IBAN son 98 – Mod(CCC142800; 97), la diferencia entre 98 y el resto módulo 97 del número de 26 cifras formado por el CCC segui­do de 14 (por E), 28 (por S) y dos ceros (si el resto es menor que 10, el primero de los dígi­tos de control es un 0). En vez de los 20 dígitos del CCC se ha pasado a 24 caracte­res alfanuméricos, en el caso de España. En los 70 países que emplean el IBAN, la longitud del código (incluidas las dos letras) va desde 15 (Noruega) a 32 (Santa Lucía), aunque otros 11 países emplean 24 (Andorra, Arabia Saudí, Chequia, Eslo­vaquia, España, islas Vírgenes Británicas, Moldavia, Pakistán, Rumania, Suecia, Túnez). Además de su validez internacional, el IBAN detecta algunos de los erro­res que se le escapan al CCC (incluso de un sólo dígito).

IBAN mejora CCC

Aunque menos conocido que los anteriores, el control del tráfico de contenedo­res utiliza códigos alfanuméricos cuyo dígito de control también se calcula módulo 11. Todo contenedor que transita por aguas internacionales (y hoy en día existen buques que cargan 20.000, cada uno de ellos) debe estar registrado en el Bureau International du Container y llevar códigos de identificación siguiendo la normativa ISO 6346 de 1995. Las explicaciones del cálculo del dígito de control aparecen como mínimo complicadas, incluso en buenos manuales (como el Manual sobre control de contenedores (2013) Comunidad Andina-UE, pg 9). Si se explica la “aritmética del reloj de 11 horas” y se da una tabla de codificación de las letras en ella, es sencilla la verificación del dígito de control (salvando incluso el problema de obtener resto 10, para el que se recomienda cambiarle su numera­ción pues se representaría con 0).

código contenedores

Aritmética modular en billetes de euros

La aritmética módulo 9 ha sido utilizada en la verificación de operaciones siendo llamada prueba del nueve, en inglés, casting out nines. En el DLE, ésta aparece definida como «Cálculo sencillo que sirve para verificar el resultado de las operaciones aritméticas, especialmente en la multiplicación y en la división, fundado en que el resto de dividir un número por nueve es el mismo que el de dividir también por nueve la suma de sus cifras.» También es llamada reducción a una cifra, dado que la reiterada suma de las cifras hasta que quede una sola es la descripción algorítmica del cálculo del resto de dividir por 9 un número dado. Al trasladar, vía esa “reducción”, un problema a otro en una aritmética mucho más simple, se obtiene un verificación sencilla … que no detecta todos los errores.

Por ejemplo si hacemos la multiplicación de 21 por 38 y obtenemos 798, la comprobación mediante la “prueba del nueve” sería: 21 ≡ 2 + 1 ≡ 3 (mod 9), 38 ≡ 3 + 8 ≡ 11 ≡ 2 (mod 9), 3 x 2 ≡ 6 (mod 9) y como  798 ≡ 7 + 9 + 8 ≡ 24 ≡ 2 + 4 ≡ 6 (mod 9), ¡¡correcto!! Claro que la verificación también diría correcto si el resultado de la multiplicación hubiese sido 708, 807 o 816. Por ello la segunda acepción de prueba del nueve en el DLE, «prueba clara que confirma la verdad o falsedad de una cuestión debatida», es como mínimo equívoca.

Esta aritmética modulo 9 se emplea en los billetes de euros, pues cada billete lleva impreso dos letras y diez dígitos (en las primeras emisiones una letra y once dígitos)  que si se “reducen a una cifra” (las letras se convierte en el número de su orden lexicográfico más uno: A 2, B 3,…, V 23,…, Z 27) debe resultar 0. Eso es al menos un indicio de validez del billete, mientras la primera letra indica el país emisor, que en las monedas distinguimos por las figuras (la segunda letra indica la serie del billete). Las letras han sido asignadas a los países en orden inverso al del orden lexicográfica de sus nombres en su idioma original. Además de no usar I, O, Q (para evitar que se confundan con 1 y 0), como a Grecia le tocaba W, letra que no está en su alfa­beto, se intercambió con la que correspondería a Dinamarca, precisamente una “i griega”. Así quedaron asignadas: Z, Bélgica; Y, Grecia; X, Alemania; V, España; U, Francia; T, Irlanda; S, Italia; P, Países Bajos; N, Austria; M, Portu­gal; L, Finlandia [además están reservadas: W, Dinamarca; R, Luxemburgo; K, Suecia; J, Reino Unido]. Las últimas incorporaciones (entre 2007 y 2015) tam­bién llevan asignada una letra: H, Eslovenia; G, Chipre; F, Malta; E, Eslova­quia; D, Estonia [y están reservadas C, Letonia y B, Lituania, faltando por asignar sólo la A].

Sorprende que en la explicación de la falsedad de un billete se olviden del dato numéri­co. Por ejemplo la OCN, Oficina Central [peruana] de lucha contra la falsifica­ción de Numerario, explica con todo detalle la falsedad de un billete de 20 € presuntamente emitido en España. Pero la verificación del número del billete, que es más elemental y proporcionaría la primera pista sobre su falsedad, no es mencionada.

Es corriente encontrar cajeros que suministran billetes de 10 € consecuti­vos, si nos fijamos en el numero del billete sin tener en cuenta el dígito de control. Eso se ejemplifica en un video que presenta un fajo de billetes donde insisten que son consecutivos si no se tiene en cuenta el último dígito. Pero los billetes de euro de un país no pueden llevar números consecutivos, sino con diferencia 9 o 18. En efecto, si su numeración es letras num d, y llamando suma ≣ nºorden (letras) + cifras (num) (mod 9), el dígito de control d debe cumplir que suma + d ≣ 0 (mod 9), teniendo en cuenta además que el resto 0 se representa por un 9. Ello proporciona una primera regla de falsedad: el número de un billete de euros NO puede terminar en 0. Para un billete con un número que, salvo el dígito de control, se “reduzca” a suma, el siguiente billete será el suma + 1 con dígito de control d – 1. Así al VA0000000002 le sigue el VA0000000011, a este el VA0000000029 (la clase de resto 0 se representa por un 9), el VA0000000038, VA0000000047, …

Sí puede haber números consecutivos de billetes si son de países distintos, pues para un billete con letra1 letra2 num d, tal que suma + d ≣ 0 (mod 9), también es válido uno numerado anterior(letra1) letra2  num (d + 1), pues (suma – 1) + (d + 1) ≣ 0 (mod 9). Por ejemplo, V00000000013 y U00000000014 son dos números de billete de euro válidos, emitidos por España y Francia respectivamente. Incluso en los billetes con dos letras, puede haber billetes de un país con números consecutivos pero de series distintas: VB000000001 y VA000000002 son números de billete de euro válidos, emitidos por España.

Origen de los números

      Los estudios antropológicos apuntan, cada vez con mayor certeza, a la importancia que los números han tenido en el desarrollo del pensamiento humano, incluido el lenguaje. El reciente libro de Caleb Everett titulado Los números nos hicieron como somos, expone que «solo ahora estamos empezando a apreciar el alcance de los números en la remodelación de la experiencia humana», pues no son conceptos que «tenga la gente de manera natural y de nacimiento [sino que] son una creación de la mente humana.» El humano de forma innata sólo distin­gue 1, 2 y 3, gracias a las neuronas en el «segmento horizontal del surco intrapa­rietal»; para cooperar/comerciar tiene que ampliar ese conocimiento y verbalizar símbolos para las cantidades («necesitamos los números») e inventa así la escritu­ra y el lenguaje. Además de relatar su experiencia profesional con tribus brasile­ñas virtualmente anumericas, trata, como primeros ejemplos en notación numé­rica del Homo Sapiens, las marcas del hueso Ishango (África central) y las de la cueva Blombos (de Sudáfrica). Posteriormente las manos proporcionaron repre­sentación y palabras para cantidades mayores. El contar con los dedos proporcio­nó herramientas, aparte de la base 10, como por ejemplo las docenas. Las doce falanges de los cuatro dedos de una mano, señalados por el pulgar, nos permiten representar 12 y con los cinco dedos de la otra mano llegar a 60 (que el día se divida en 24 horas y la hora en 60 minutos tiene mucho que ver con ello). Incluso con gestos más complejos, como los que describía Beda el Venerable (ca. 672 – 735), se llega a 10.000, e incluso hasta un millón. Beda fue el autor De temporum ratione (Sobre la división del tiempo, en 703) donde plantea el cómputo de la Pas­cua y propone una cronología a partir del nacimiento de Cristo; sus análisis muestran que los «numerales» posibilitaron el establecimiento de calendarios, que permitían la predicción de las estaciones y las cosechas. Por ello los estudios de las marcas y dibujos de los primeros homínidos hoy se interpretan como com­puto de días (ya de meses lunares o de la duración de un embarazo, lo que condujo a la llamada conjetura Zaslavsky, de que fueron mujeres las que los realizaron). De ahí a la escritura de los números hay un largo recorrido (a través de Mesopotamia y la India) que suele desconocerse y que saltó a los medios en 2015 cuando «se descubrió en Camboya la inscripción conocida no ambigua más anti­gua del mundo de un cero circular. Este cero, realmente un punto grande, sirve como marcador de posición en el antiguo numeral jemer para 605. Se halla inscri­to en una tabla de piedra que data del año 683 de nuestra era, encontrada cerca de las ruinas de Angkor Wat.» 

     La notación posicional fue diseñada en la India en torno al siglo III, según han revelado la datación mediante carbono del manuscrito de Bakhshali (que estaba guardado desde 1902 en la Biblioteca Bodleian de Oxford), pero aún tardaría siglos en llegar a Occidente a través de los árabes. Vamos que las figuras de los Reyes Magos, «el persa, el árabe y el hindú», no deja de ser una buena metáfora de como hemos accedido a la representación y empleo de los números, mediante los guarismos y los algoritmos (ambos términos nos remiten al algebrista de Bagdad, Al-Juarizmi). El nombre del signo cero, desconocido por griegos y roma­nos, procede de la traducción latina zephirum del término árabe cifr (nada; en cas­tellano también produjo cifra), a su vez traducción del nombre indio sunya (vacío). Leonardo de Pisa, más conocido como Fibonacci, publicó en 1202 su Liber Abaci (Libro del ábaco o del cálculo) donde ensalzaba el uso del cero, que llamaba zevero, de lo cual derivó cero en castellano y zero en francés y en inglés. La figura histórica de Al-Juarizmi es muy poco conocida, aunque proporcionó a nuestro idioma varios términos, que doce siglos más tarde tienen plena utilidad. Fue quien transmitió a Occidente los conocimientos mate­máticos desarrollados en Asia. Los símbolos de los números, y las operaciones aritméticas con ellos, llegaron de su mano; el término alguarismo aparece regis­trado ya en 1265 como “arte de contar.” Acabó simplificado en guarismo, los dígitos (una referencia a los dedos), que nos permiten representar los números y que hemos terminado por llamar cifras.

    Al igual que los guaris­mos substituyeron a los números romanos (hasta 1600 se hablaba de la numeración castellana frente a la “novedosa” arábiga) el significado de algebrista (de al-jabr, componer) pasó, de médico especializado en el arreglo de luxaciones, a la de mate­mático que resuelve ecuaciones mediante procedimientos correctos, esto es, algoritmos. Hace ya más de 400 años, el escocés Napier inven­tó un procedimiento para realizar operaciones con números de forma más rápida. Se acuño el término logaritmo, del griego λόγος (lógos, “razón”) y ἀριθμός (arith­mós, “número”), que se utilizaron en forma de tablas y reglas de cálculo. Esa herra­mienta, básica para los cómputos de navegación, sólo fue superada el siglo pasado con la llegada de los ordenadores. Estos impulsaron el estudio de algoritmos, ya no sólo para resolución de problemas numéricos, sino de todo tipo. De hecho Alan Turing puso de manifiesto la importancia y los límites de los algoritmos, que son la base del trabajo de los informáticos, dedicados a buscar e implementar modos de resolver problemas de forma segura, eficiente y rápida.

 

Semántica del condicional

    La semántica de la conectiva que empleamos para representar el condicio­nal, ➝, suele presentar dificultades a los que se inician en el estudio de la lógica. Usualmente referida como implicación, es habitual la pregunta del porqué de su tabla de verdad. Cuando leemos p ➝ q en la forma “si p entonces q”, estamos expresando la deducción  { p } ⊨ q, o lo que es lo mismo, afirmando  ⊨ p ➝ q, que la fórmula es una tautología. Precisamente como { ⊥ } ⊨ q, cualquiera que sea q (como nos recuerda el aforismo Ex falsum quolibet sequitur), queda asegurado que ⊥ ➝ q toma siempre el valor cierto. Además las equivalencias 

garantizan que podríamos usar tan sólo la conectiva ➝ y la constante ⊥ para expresar todas las proposiciones.

Una deducción {p₁, …, p_n} ⊨ q en notación de secuentes se representa mediante la notación p₁, …, p_{n ➯} q , lo cual permite describir fácilmente una prueba. Las reglas de deducción natural expresadas en dicha notación (leídas de abajo-arriba) son para el condicional:Esto proporciona un método de demostración extraordinariamente simple y gráfico, como muestra la prueba del silogismo { p ➝ q, q ➝ r } ⊨ p ➝ r

• «Según la lógica formal proposicional, si damos por válida una falsedad podemos con igual validez deducir a partir de ella cualquier cosa. Esta académica afirmación tiene su correspon-dencia con infinidad de expresiones coloquiales. “¡Anda ya, si tú eres capaz de correr cien metros en doce segundos, yo soy el Papa de Roma!”, “Sí, hombre, tu te pasaste el fin de semana entero en casa estudiando y yo viajé a la Luna”. “¿Que tú has cocinado esta paella? Sí, ya, y yo soy premio Nobel”» [Antonio Rico El problema del consecuente 24/septiem­bre/2010]

• Se dice que Bertrand Russell (1872 – 1970) en una conferencia estaba remarcando que de un conjunto contradictorio de axiomas puede deducirse cualquier cosa. Fue interrumpido por una persona del público que le retó a probar que de 2 + 2 = 5 resultaría que él sería el Papa. A lo cual brillantemente contestó: «Si 2 + 2 = 5… entonces 4 = 5… así, restando 2 a cada lado… nos da… 2 = 3…. trasponiendo tenemos 3 = 2… y ahora restando 1 a cada lado … 2 = 1… Entonces, como el Papa y Russell son dos personas y 2 = 1… por lo tanto el Papa y Russell son el mismo.»

Algoritmo gráfico de la hora de verano

        Una de la más sorprendentes disposiciones que deben publicarse en el BOE, donde ocupa casi dos páginas, es la Orden que hace público «el calendario del período de la hora de verano» en un conjunto de 5 años (la última apareció el 28/febrero/2017). Sorprende que el periódico oficial publique la solución de un ejercicio elemental: «Sabiendo que el último domingo de marzo de 2016 fue el día 27, determinar la fecha de los últimos domingos de marzo y de octubre de los siguientes años». La aritmética modular nos permite diseñar un algoritmo que se mantendrá válido hasta 2100, e incluso más allá si tenemos en cuenta que ese año no será bisiesto.

         Como ambos últimos domingos de marzo y de octubre caen entre el 25 y el 31 del mes, podremos representar la solución sobre un heptágono el que aparezca marcado el vértice cuyo número es él del último domingo de marzo. Si el 31/marzo es domingo, como el número de días entre el 1/abril y el 30/septiembre es 3 · (30 + 31) = 183 y dado que 189 ≣ 0 (mod 7), el 6/octubre será domingo. Así el último domingo de octubre de ese año será el día 27, obteniendo como regla modular que la fecha del último domingo de octubre es -4 (mod 7) respecto al de marzo. Como 365 ≣ 1 (mod 7), la fecha semanal de un concreto día avanza uno en un año común, dos en uno bisiesto si es de un mes posterior a febrero. Todo ello permite diseñar el heptagrama que da los números de los últimos domingos de marzo y de octubre de cualquier otro año, avanzado en sentido del reloj (en sentido contrario para un año anterior) tantos pasos (dos en los bisiestos) como años intermedios hay. O puede ser convertido en un pequeño programa en cualquier lenguaje de programación (por ejemplo, en el de Mathemática©).